318. Les billets-lemme

Comme certains sujets que je voudrais développer m'entraînent irrémédiablement vers d'autres sujets et de nombreux détails dont vous foutez mais qui me tiennent à coeur - et comme j'écris ici pour moi et non pour vous, je n'ai pas l'intention de changer de style -, et comme certains ne lisent plus mes billets dès que leur longueur dépasse leur endurance (non, je sais bien mat que c'est pas une question d'endurance, mais de flemme, pour toi. Mais toi tu sais déjà tout de toute façon), eh bien me voilà en train d'inaugurer ici le concept de billet-lemme.

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En mathématiques, un lemme (du grec lêmma, proposition prise d'avance) est une sorte de petit théorème, dont le résultat n'est pas très important en tant que tel, ni très intéressant, mais qui comporte la partie parfois difficile à démontrer et dont l'application immédiate permet de prouver un théorème plus important ou plus général.

Par exemple, imaginons que je veuille démontrer que les secrétaires passent leur temps à se plaindre. Il me faudrait d'abord démontrer qu'elle ont toujours trop ou pas assez de travail à faire. Plutôt que de tout faire en une fois, je démontre le résultat intermédiaire, que je nommerai le Lemme de la secrétaire :

Lemme : une secrétaire a toujours trop ou pas assez de travail
Démonstration : Supposons qu'une secrétaire ait ni trop ni trop peu de travail. Non verrons ab absurdo que cela mène à des contradictions. Soit la secrétaire est prévoyante, et elle sait par expérience qu'il lui faudra peut-être plus de temps que prévu pour accomplir une tâche. Elle prendra donc du temps pour se convaincre qu'elle n'en a pas assez, et, ce faisant, réduira son temps disponible à l'accomplissement de la tâche et n'aura donc plus assez de temps pour son travail. Elle aura donc trop de travail pour le temps dont elle dispose. Si elle n'est pas prévoyante, elle n'est pas une bonne secrétaire, et ne sera donc pas apte à faire la tâche requise dans le temps qui aurait dû lui suffire.

Maintenant que nous avons prouvé le lemme de la secrétaire, il devient simple et clair de prouve mon grand théorème :

Théorème : une secrétaire passe sont temps à se plaindre
Démonstration : Par le lemme de la secrétaire, une secrétaire a toujours trop ou pas assez de travail. Si elle en a trop, elle cherchera à montrer que ce n'est pas sa faute si elle n'arrive pas au bout de ce qu'elle sait faire, et donc se plaint de sa surcharge de travail auprès des autres, voire du mur si elle est seule. Si elle n'en a pas assez, elle profitera de se plaindre de cet état de fait, car elle n'aura rien d'autre à faire.

Certains lemmes sont rentrés dans l'histoire parce que finalement, on les utilise à d'autres occupations, genre le lemme de Zorn.

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Eh bien un billet-lemme, c'est une partie du raisonnement ou de ce que je veux exposer, et qui peut faire un billet à elle toute seule. Ce n'est pas une chose que je veux dire pour elle-même, mais juste comme partie d'une idée plus grande.

Par exemple, l'explication ci-dessus de ce qu'est un lemme mathématique aurait fait un très bon lemme.